Question

【題目】如圖，四邊形是矩形平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)可得,由平面，可得，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以過作的垂線為軸，以為，以為軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面的法向量與平面的法向量利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：設(shè)交于，

因為四邊形是矩形， ，

所以，

又，所以，

因為，所以，

又平面，

所以，而，所以平面.

由面面垂直的判定定理可得平面平面

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意可得,

設(shè)平面的法向量，

則，取，即，

設(shè)平面的法向量，

則，取，即，

設(shè)平面和平面所成的二面角為，

則.

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.