Question

1．已知△ABC的面積為S，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2S=$\sqrt{3}$AB•AC．
（Ⅰ）求角A的大小：
（Ⅱ）若b、c是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩個根．求邊a的長度及△ABC的外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形面積公式和平面向量數(shù)量積的運算及同角三角函數(shù)基本關系式可得tanA=$\sqrt{3}$，結合范圍A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）由韋達定理可得b+c=2$\sqrt{3}$，bc=2，利用余弦定理解得a的值，由正弦定理即可得解△ABC的外接圓的半徑．

解答 解：（Ⅰ）∵2S=$\sqrt{3}$AB•AC．
∴2×$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$bccosA，解得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵b，c是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，
∴b+c=2$\sqrt{3}$，bc=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=12-6=6，解得：a=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理可得：2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得：R=$\sqrt{2}$．
∴△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查了正弦定理，余弦定理，韋達定理的綜合應用，屬于中檔題．