Question

10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，求$μ=\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則x＞0，y＞0，
則$μ=\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），
則k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵μ=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$，
∴2≤k+$\frac{1}{k}$≤$\frac{10}{3}$，
$\frac{3}{10}$≤$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{1}{2}$，
即μ取得最小值為$\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用換元法以及直線斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．