Question

7．設(shè)a，b，c∈R，且3^a=4^b=6^c，求證：$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$．

Answer 1

分析 設(shè)3^a=4^b=6^c=t（t＞0），根據(jù)對(duì)數(shù)的定義得到a、b、c的值；然后由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則證得左邊=右邊即可．

解答 證明：設(shè)3^a=4^b=6^c=t（t＞0），則
a=log₃^t，b=log₄^t，c=log₆^t．
所以$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{lo{{g}_{6}}^{t}}$=2log_t⁶，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{2}{lo{{g}_{3}}^{t}}$+$\frac{1}{lo{{g}_{4}}^{t}}$=2log_t³+log_t⁴=log_t${\;}^{{3}^{2}×4}$=2log_t⁶，
所以$\frac{2}{c}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查換底公式的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．