Question

2．在函數(shù)f（x）=blnx+（x-1）²（x＞0）的圖象上任取兩個不同點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＞x₂），總能使得f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂），則實數(shù)b的取值范圍為[$\frac{25}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=blnx+（x-1）²（x＞0）的圖象上任取兩個不同點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）x₁＞x₂）連續(xù)的斜率不小于3，即導(dǎo)數(shù)值不小于3，由此構(gòu)造關(guān)于b的不等式，可得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵x₁-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂），
∴$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$≥3，
∵f（x）=blnx+（x-1）²，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{x}$+2（x-1）
∴$\frac{x}$+2（x-1）≥3，
∴b≥-2x²+5x
∵-2x²+5x=-2（x-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{8}$≤$\frac{25}{8}$，
∴a≥$\frac{25}{8}$，
故答案為：[$\frac{25}{8}$，+∞）．

點評 本題考查的知識點導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率公式，其中分析出f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂）的幾何意義，是解答的關(guān)鍵．