Question

17．在四面體ABCD內(nèi)部有一點O，滿足OA=OB=OC=4，OD=1，則四面體ABCD體積的最大值為$9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由定、動結(jié)合可得，要使四面體ABCD體積最大，需OD⊥平面ABC，設(shè)O在平面ABC上的投影為G，且OG=x，求出三角形ABC的外接圓的半徑，得到三角形ABC面積的最大值，代入體積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得答案．

解答 解：當(dāng)固定A、B、C、D四點時，要使ABCD的體積最大，則D到面ABC的距離應(yīng)最大，
∵OD=1，∴D在以O(shè)為球心，以1為半徑的球面上運動，
故要保證四面體ABCD體積最大，需OD⊥平面ABC，
設(shè)O在平面ABC上的投影為G，且OG=x，
則D到面ABC的距離為1+x，
又OA=OB=OC=4，
∴EA=EB=EC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，則
由正弦定理及均值不等式可得，當(dāng)△ABC為正三角形時，△ABC面積最大，
則${S}_{△ABC}≤\frac{3\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）$，
∴${V}_{ABCD}≤\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）（1+x）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）（1+x）$．
令f（x）=（16-x²）（1+x）=-x³-x²+16x+16，（0＜x＜4），
則f′（x）=-3x²-2x+16，
當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（2，4）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=36，
則則四面體ABCD體積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}×36=9\sqrt{3}$．
故答案為：$9\sqrt{3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐及棱臺的體積，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，難度較大．