Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，由∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，可得△ABF₂是等邊三角形，利用△ABF₂的周長(zhǎng)=3|AF₂|=4a，分別解得|AF₂|，|AF₁|，在△AF₁F₂中，由余弦定理解出即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，
∴△ABF₂是等邊三角形，
∴△ABF₂的周長(zhǎng)=3|AF₂|=4a，
∴|AF₂|=$\frac{4a}{3}$，
∴|AF₁|=$\frac{2a}{3}$．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=$（\frac{2a}{3}）^{2}$+$（\frac{4a}{3}）^{2}$-2×$\frac{2a}{3}$×$\frac{4a}{3}$cos60°，
化為：a²=3c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．