Question

12．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，則橢圓離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由|AF₁|=3|AF₂|，|AF₁|+|AF₂|=2a，解得|AF₁|，|AF₂|．由∠F₁AF₂=90°，利用勾股定理及其離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：∵|AF₁|=3|AF₂|，|AF₁|+|AF₂|=2a，
解得|AF₁|=$\frac{3}{2}$a，|AF₂|=$\frac{1}{2}a$，
∵∠F₁AF₂=90°，
∴$（\frac{3a}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}$=（2c）²，
化為：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{8}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理及其離心率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．