Question

3．已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)投入△ABC內(nèi)，則該粒黃豆落在△PAC內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 本題符合幾何概型的意義，只要畫(huà)出滿足條件的圖形，數(shù)形結(jié)合找出滿足條件的△APC的面積大小與△ABC面積的大小之間的關(guān)系，再根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．

解答 解：如圖示，取BC的中點(diǎn)為D，連接PA，PB，PC，
則2$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$，又P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，
故有$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}$，可得三點(diǎn)A，P，D共線且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
即P點(diǎn)為A，D的中點(diǎn)時(shí)滿足$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=0，
此時(shí)S_△APC=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
故黃豆落在△APC內(nèi)的概率為$\frac{1}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率求法；關(guān)鍵是選擇公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)公式解答．