Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₁₃=104，公差d∈N^*．
（1）若a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的m∈N^*，a_m+a_m+1仍然是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的公差d；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的每一列都是正整數(shù)，且b₁=5，b₂=7＜b₃，若數(shù)列{a_bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)求出a₇，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，結(jié)合題意求出d和a₁，再求出a_n；
（2）先假設(shè)存在數(shù)列{a_n}滿足條件，由a₇和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n、a_m+a_m+1，根據(jù)題意列出方程求出d的值；
（3）根據(jù)題意分別求出a_b1和a_b2的式子，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q和a_bn，a_b3，根據(jù)條件求出d的值以及b_n．

解答 解：（1）由條件得S₁₃=$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=13a₇=104，解得a₇=8，
∵a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列，∴$a_5^2={a_2}{a_{11}}$，；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+6d=8}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+10d）}\end{array}\right.$，且公差d∈N^*，
解得d=1，a₁=2，∴a_n=2+n-1=n+1；
（2）假設(shè)存在數(shù)列{a_n}滿足條件，
∵a₇=8，∴a_n=8+（n-7）d，a_m+a_m+1=16+（2m-13）d，
令a_m+a_m+1=a_n，則（n+6-2m）d=8，∴d為8的正約數(shù)：1，2，4，8，
經(jīng)檢驗(yàn)，d=1符合題意，綜上滿足條件的d值為1；
（3）∵a₇=8，b₁=5，b₂=7，∴${a_{b_1}}={a_5}=8-2d，{a_{b_2}}={a_7}=8$，
∴等比數(shù)列的公比$q=\frac{8}{8-2d}=\frac{4}{4-d}$，${a_{b_n}}=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^{n-1}}$，
又${a_{b_n}}=8+（{b_n}-7）d$，
∴$8+（{b_n}-7）d=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^{n-1}}$，①
∴$8+（{b_3}-7）d=（8-2d）{（\frac{4}{4-d}）^2}$，則$8+（{b_3}-7）d=\frac{32}{4-d}$，
由b₃＞7，得4-d＞0，d=1，2，3，并代入①得，
經(jīng)檢驗(yàn)，d=1不符合題意，當(dāng)d=2時(shí)，${b_n}={2^n}+3$，
當(dāng)$d=3時(shí)，_{n}=\frac{{2}^{2n-1}+1}{3}+4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)，以及化簡、變形能力，屬于中檔題．