Question

已知a＞1，橢圓C：

x2

a2

+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．直線l：x=ay+

a2

2

與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G，H．若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線l：x=ay+

a2

2

與橢圓C：

x2

a2

+y2=1，消去x，得到2y²+ay+

a2

4

-1=0，運(yùn)用判別式大于0，解出即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理，由重心坐標(biāo)公式得到G，H，設(shè)M為GH的中點(diǎn)，由原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，則2|MO|＜|GH|，平方化簡(jiǎn)，結(jié)合判別式大于0，即可得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立直線l：x=ay+

a2

2

與橢圓C：

x2

a2

+y2=1，
消去x，得2y²+ay+

a2

4

-1=0，
由直線與橢圓相交，得判別式△=a²-8（

a2

4

-1）=8-a²＞0，
解得-2

2

＜a＜2

2

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-2

2

，2

2

）；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅰ）知，-2

2

＜a＜2

2

，y₁+y₂=-

a

2

，y₁y₂=

a2

8

-

1

2

，
由于F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），故O為F₁F₂的中點(diǎn)，
由

AG

=2

GO

，

BH

=

HO

，可知G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

），
|GH|²=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，
設(shè)M為GH的中點(diǎn)，則M（

x1+x2

6

，

y1+y2

6

），
由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[（

x1+x2

6

）²+（

y1+y2

6

）²]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，
即x₁x₂+y₁y₂＜0，而x₁x₂+y₁y₂=（y₁+

a2

2

）（y₂+

a2

2

）+y₁y₂=（a²+1）（

a2

8

-

1

2

）
則

a2

8

-

1

2

＜0，即a²＜4，又由于a＞1且△＞0，則1＜a＜2．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及重心的坐標(biāo)公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．