Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=a．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)在DE上存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，問題補(bǔ)充．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：（1）分別取AB、DF的中點(diǎn)O、G，連接OC、OG．
以直線OB、OC、OG分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵AF=a=4，則D、E、F的坐標(biāo)分別為D（1，0，1）、E（0，

3

，3）、F（-1，0，4），
∴

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，3）
設(shè)平面DEF的法向量

n

=（x，y，z），則

-x+ 3 y+2z=0 -2x+3z=0

，
令z=6，則

n

=(9，-

3

，6)．
平面ABC的法向量可以取

m

=（0，0，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

81+3+36

=

30

10

．
∴平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為

30

10

．
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，AF=a，

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，a-1），C（0，

3

，0）．
因P在DE上，設(shè)

DP

=λ

DE

，
則

OP

=

OD

+

DP

=（1-λ，

3

λ，2λ+1）．
∴

CP

═（1-λ，

3

（λ-1），2λ+1）．
于是CP⊥平面DEF的充要條件為

CP • DE =0 CP • DF =0

，得到

λ-1+3(λ-1)+2(2λ+1)=0 ; -2(1-λ)+(a-1)(2λ+1)=0

由此解得，λ=

1

4

，a=2．
即當(dāng)a=2時(shí)，在DE上存在靠近D的第一個(gè)四等分點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF．此時(shí)，|DP|=

1

4

1+3+4

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩平面的法向量的夾角求二面角的余弦值、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．