Question

6．已知f（x）=log₄（4^x-1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得4^x-1＞0，解不等式可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可證明；
（3）由（2）可知f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x-1），
∴4^x-1＞0，
∴x＞0，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
（2）∵t=4^x-1在（0，+∞）上為增函數(shù)，y=log₄t在（0，+∞）上也為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，
∴f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由（2）可知f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（2），
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，f（2）=log₄15，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的值域?yàn)閇0，log₄15]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性及函數(shù)的值域的求解，求解單調(diào)區(qū)間時(shí)不要漏掉對(duì)函數(shù)定義域的考慮，屬于基礎(chǔ)題．