Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+k+1）$\sqrt{x-k}$，g（x）=$\sqrt{x-k+3}$，其中k＞0．
（1）若k=1，解不等式f（x）＜2g（x）；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）-（x-k）g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）代入k=1，化簡不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解即可．
（2）化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)為0，通過分類討論求解函數(shù)的零點即可．

解答 解：（1）解由k=1，不等式f（x）＜2g（x）；
即（x+2）$\sqrt{x-1}$＜2$\sqrt{x+2}$，變形等價于$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{\sqrt{（x+2）（x-1）}＜2}\end{array}\right.$-----------------------------3分
解得1≤x＜2．--------------------------------------------------5分
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-（x-k）g（x）
=（x+k+1）$\sqrt{x-k}$-（x-k）$\sqrt{x-k+3}$
=$\sqrt{x-k}$[（x+k+1）-$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$]，
令F（x）=0，所以x=k或x+k+1=$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$（x≥k）．---------------------------------7分
由x+k+1=$\sqrt{（x-k）（x-k+3）}$（x≥k）．
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{（4k-1）x=-5k-1}\end{array}\right.$--------------------------------------------------9分
當k=$\frac{1}{4}$時，此方程無解；--------------------------------------------------10分
當$k≠\frac{1}{4}$時，$x=\frac{-5k-1}{4k-1}$，$\frac{-5k-1}{4k-1}-k=\frac{-（2k+1）^{2}}{4k-1}$，
當k＞$\frac{1}{4}$時，$\frac{-5k-1}{4k-1}＜k$，所以此根不是原函數(shù)的零點，----------------------------------12分
當k$＜\frac{1}{4}$且$k≠-\frac{1}{2}$時，此根為原函數(shù)的零點，當x=$-\frac{1}{2}$時，此根與k相等．--------------------------------------------------14分
故原函數(shù)的零點，當k＜$\frac{1}{4}$且k$≠-\frac{1}{2}$時，原函數(shù)有兩個零點；
當k$≥\frac{1}{4}$或k=$-\frac{1}{2}$時，原函數(shù)有一個零點．--------------------------------------------------16分．

點評 本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，無理不等式的解法，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．