Question

5．已知橢圓C是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0），A，B為橢圓的左右頂點，點P為橢圓上異于A，B的動點，且直線PA，PB的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 通過設(shè)P（x，y），其中x=acosα，y=3sinα，利用k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵點P為橢圓上異于A，B的動點，
∴可設(shè)P（x，y），其中x=acosα，y=3sinα，
∵A（-a，0），B（a，0），
∴k_PA=$\frac{y-0}{x+a}$=$\frac{3sinα}{a（1+cosα）}$，
k_PB=$\frac{y-0}{x-a}$=$\frac{3sinα}{a（cosα-1）}$，
又∵直線PA，PB的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，
∴k_PA•k_PB=-$\frac{3}{4}$，即$\frac{9si{n}^{2}α}{{-a}^{2}（1-co{s}^{2}α）}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得a²=12，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題考查求橢圓的方程，注意解題方法的積累，屬于中檔題．