Question

13．若不等式|mx³-lnx|≥1對?x∈（0，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{3}$e²，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式恒成立，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的最值即可．

解答 解：|mx³-lnx|≥1對任意x∈（0，1]都成立
等價為mx³-lnx≥1，或mx³-lnx≤-1，
即m≥$\frac{1+lnx}{{x}^{3}}$，記f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{3}}$，或m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，記g（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，
f'（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{3}-3{x}^{2}（1+lnx）}{{x}^{6}}$=$\frac{-2-3lnx}{{x}^{4}}$，
由f'（x）=$\frac{-2-3lnx}{{x}^{4}}$=0，
解得lnx=-$\frac{2}{3}$，即x=e-$\frac{2}{3}$，
由f（x）＞0，解得0＜x＜e-$\frac{2}{3}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f（x）＜0，解得x＞e-$\frac{2}{3}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=e-$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，同時也是最大值f（e^-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1+ln{e}^{-\frac{2}{3}}}{（{e}^{-\frac{2}{3}}）^{3}}$=$\frac{1-\frac{2}{3}}{{e}^{-2}}$=$\frac{1}{3}$e²，此時m≥$\frac{1}{3}$e²，
若m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$，
∵當x=1時，$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$=-1，
∴當m＞0時，不等式m≤$\frac{lnx-1}{{x}^{3}}$不恒成立，
綜上m≥$\frac{1}{3}$e²．
故答案為：[$\frac{1}{3}$e²，+∞）．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)和最值之間的關(guān)系，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．