Question

17．對(duì)于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p，q使得c_n+1=pc_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，我們稱(chēng)數(shù)列{c_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”．
（1）若a_n=3n，b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“Q類(lèi)數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p，q，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）證明：若數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，則數(shù)列{a_n+a_n+1}也是“Q類(lèi)數(shù)列”；
（3）若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數(shù)．求數(shù)列{a_n}前2015項(xiàng)的和．并判斷{a_n}是否為“Q類(lèi)數(shù)列”，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n=3n，則a_n+1=a_n+3，n∈N^*．由b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，可得b_n+1=5b_n，n∈N^*．利用“Q類(lèi)數(shù)列”定義即可判斷出；
（2）若數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q，使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，即可證明；
（3）a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數(shù)，可得a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3t•2²⁰¹⁴．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得數(shù)列{a_n}前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅=2+t•（2²⁰¹⁶-4）．若數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q．使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，可得3t•2ⁿ⁺¹=3t•2ⁿ+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，分類(lèi)討論即可得出．

解答 （1）解：∵a_n=3n，則a_n+1=a_n+3，n∈N^*，
故數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，3． 
∵b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，
則b_n+1=5b_n，n∈N^*．
故數(shù)列{b_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為5，0．
（2）證明：若數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q，
使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
故數(shù)列數(shù)列{a_n+a_n+1}也是“Q類(lèi)數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p，2q． 
（3）解：a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數(shù)，
 則a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3t•2²⁰¹⁴．
故數(shù)列{a_n}前2015項(xiàng)的和S₂₀₁₅=2+3t（2²+2⁴+…+2²⁰¹⁴）=2+$3t•\frac{4（{4}^{1007}-1）}{4-1}$=2+t•（2²⁰¹⁶-4）．
若數(shù)列{a_n}是“Q類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q．
使得a_n+1=pa_n+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，
而${a}_{n}+{a}_{n+1}=3t•{2}^{n}$，且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹，
則3t•2ⁿ⁺¹=3t•2ⁿ+2q對(duì)于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
（1）當(dāng)p=2，q=0時(shí)，a_n+1=2a_n，${a}_{n}={2}^{n}$，t=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件．
（2）當(dāng)t=0，q=0 時(shí)，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件．
因此當(dāng)且僅當(dāng)t=1或t=0，時(shí)，數(shù)列{a_n}也是“Q類(lèi)數(shù)列”． 對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0，或-1，0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“Q類(lèi)數(shù)列”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式”，考查了分類(lèi)討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．