Question

19．設(shè)f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{m^2}$）e^mx，其中m≠0．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=f（x）-$\frac{1}{m}$x-5恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），判斷f′（x）的符號(hào)得出f（x）的單調(diào)性；
（2）令g（x）=0得f（x）=$\frac{1}{m}x+5$，根據(jù)f（x）與y=$\frac{1}{m}x+5$有兩個(gè)交點(diǎn)及兩函數(shù)的單調(diào)性可得f（0）＜5，從而解出m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（2x-$\frac{3}{m}$）e^mx+m（x²-$\frac{3}{m}x$+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx=e^mx（mx²-x+$\frac{2}{m}$）．
設(shè)h（x）=mx²-x+$\frac{2}{m}$，則△=1-8=-7＜0，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)m＜0時(shí)，h（x）＜0．
∵e^mx＞0，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)m＜0時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
（2）令g（x）=0得f（x）=$\frac{1}{m}x+5$，
設(shè)F（x）=$\frac{1}{m}x+5$，則F（x）過(guò)點(diǎn)（0，5），又f（0）=$\frac{5}{{m}^{2}}$，
∵g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴f（x）與F（x）的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴$\frac{5}{{m}^{2}}＜5$，解得m＞1或m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．