Question

12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）若直線l和曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3$\sqrt{2}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心、半徑，由于直線l過點(diǎn)（1，-1），求出該點(diǎn)到圓心的距離，與半徑半徑即可判斷出位置關(guān)系；
（II）利用點(diǎn)到直線的距離公式與弦長公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x-4y，即（x-1）²+（y+2）²=5，
∵直線l過點(diǎn)（1，-1），且該點(diǎn)到圓心的距離為$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1+2）^{2}}$$＜\sqrt{5}$，
∴直線l與曲線C相交．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l過圓心，|AB|=2$\sqrt{5}$≠3$\sqrt{2}$，
因此直線l必有斜率，設(shè)其方程為y+1=k（x-1），即kx-y-k-1=0，
圓心到直線l的距離$d=\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{（\sqrt{5}）}^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，
解得k=±1，
∴直線l的斜率為±1．

點(diǎn)評 本小題主要考查直線的參數(shù)方程及其幾何意義、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力；數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．