Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-lnx，其中a＞$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（x），證明函數(shù)y=a-g（a）沒有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，通過解不等式獲得函數(shù)的增減區(qū)間，注意對a進(jìn)行討論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求出函數(shù)的最小值，然后再判斷函數(shù)y=g（a）-a的零點(diǎn)個數(shù)．

解答 解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$．令f′（x）=0得x=$±\frac{1}{\sqrt{2a}}$（負(fù)值舍去），所以x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$．
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{2a}}$．
故f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上遞減，在[$\frac{1}{\sqrt{2a}}，+∞$）上遞增．
（2）由（1）可知f（x）_min=f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$=$\frac{1}{2}（1+ln2a）$=g（a）．
設(shè)h（a）=a-g（a）=$a-\frac{1}{2}lna-\frac{1}{2}ln2e$．（a$＞\frac{1}{2}$）
令h$′（a）=1-\frac{1}{2a}=\frac{2a-1}{2a}$=0得a=$\frac{1}{2}$．由h′（a）＞0得a$＞\frac{1}{2}$．
所以當(dāng)a$∈（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，h（a）是增函數(shù)．
設(shè)h（a）在a=$\frac{1}{2}$處有定義，而h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2e=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{2}ln2-\frac{1}{2}=0$．
所以當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，h（a）＞0恒成立．
故函數(shù)函數(shù)y=a-g（a）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、以及函數(shù)的零點(diǎn)的方法，要注意結(jié)合圖象解決問題．