Question

7．如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C在圓O上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），點(diǎn)C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=$\sqrt{5}$，則sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），
∴|OB|=|OC|=$\sqrt{5}$，
∵|BC|=$\sqrt{5}$，
∴△OBC是等邊三角形，
則∠AOB=α+$\frac{π}{3}$．
則sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，根據(jù)條件判斷三角形是等邊三角形是解決本題的關(guān)鍵．