Question

11．已知函數(shù)f（x）=e${\;}^{-\frac{1}{|x|}}$-ax²（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若f（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=0，當(dāng)x＞0時，求證：對任意的正整數(shù)n都有f（$\frac{1}{x}$）＜n!x^-n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定義判斷，先判斷定義域關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）=f（x）；
（Ⅱ）不等式可整理為a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用構(gòu)造函數(shù)令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）=-$\frac{1}{{x}^{4}}$${e}^{\frac{1}{x}}$（2x+1），得出函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值；
（Ⅲ）若a=0，f（x）=${e}^{-\frac{1}{x}}$，得出xⁿ＜n!e^x，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式對一切n∈N^*都成立即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）由偶函數(shù)性質(zhì)可知，只需求當(dāng)x∈（-∞，0）時，
f（x）=${e}^{\frac{1}{x}}$-ax²≤0恒成立，
∴a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$，g'（x）=-$\frac{1}{{x}^{4}}$${e}^{\frac{1}{x}}$（2x+1），
當(dāng)x∈（-∞，$-\frac{1}{2}$）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，當(dāng)x∈（$-\frac{1}{2}$，0）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，
∴g（x）的最大值為g（-$\frac{1}{2}$）=4e^-2，
∴a≥4e^-2，
（Ⅲ）若a=0，f（x）=e${\;}^{-\frac{1}{|x|}}$，
當(dāng)x＞0時，f（x）=${e}^{-\frac{1}{x}}$，f（$\frac{1}{x}$）=e^-x＜n!x^-n．
∴xⁿ＜n!e^x，
（i）當(dāng)n=1時，設(shè)g（x）=e^x-x，（x＞0），
∵x＞0時，g'（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）是增函數(shù)，
故g（x）＞g（0）=1＞0，
即e^x＞x，（x＞0）
所以，當(dāng)n=1時，不等式成立      
（ii）假設(shè)n=k（k∈N^*）時，不等式成立，即x^k＜k!•e^x
當(dāng)n=k+1時設(shè)h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）
有h'（x）=（k+1）!•e^x-（k+1）x^k=（k+1）（k!•e^x-x^k）＞0
故h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）為增函數(shù)，
所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x^k+1＜（k+1）!•e^x，
這說明當(dāng)n=k+1時不等式也成立，
根據(jù)（i）（ii）可知不等式對一切n∈N^*都成立，
故原不等式對一切n∈N^*都成立．

點評 考查了偶函數(shù)的判定，恒成立問題的轉(zhuǎn)換和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．