【題目】對于定義域為R的函數(shù)f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零點,則稱函數(shù)f(x)為“含界點函數(shù)”,則下列四個函數(shù)中,不是“含界點函數(shù)”的是( )
A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
【答案】D
【解析】因為f(x)=x2+bx-1(b∈R)的零點即為方程x2+bx-1=0的根,又Δ=b2+4>0,所以方程x2+bx-1=0有一正一負兩個不同的根,f(x)=x2+bx-1是“含界點函數(shù)”;因為f(x)=2-|x-1|有兩個零點x=3和x=-1,故f(x)=2-|x-1|是“含界點函數(shù)”;f(x)=2x-x2的零點即為y=2x與y=x2的圖象的交點的橫坐標,作出函數(shù)y=2x與y=x2的圖象如圖所示,
故f(x)=2x-x2為“含界點函數(shù)”;因為f(x)=x-sin x在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以f(x)=x-sin x不是“含界點函數(shù)”.
故選D.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,證明:函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點?若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由. (參考數(shù)據(jù): , )
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【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測兩套設備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機從兩套設備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標值,若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品. 表1是甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖.
表1:甲套設備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1:乙套設備的樣本的頻率分布直方圖
(Ⅰ)將頻率視為概率. 若乙套設備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則其中的不合格品約有多少件;
(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關(guān);
甲套設備 | 乙套設備 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(Ⅲ)根據(jù)表1和圖1,對兩套設備的優(yōu)劣進行比較.
附:
.
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【題目】祖暅原理也就是“等積原理”,它是由我國南北朝杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的,祖暅原理的內(nèi)容是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的平面所截,如果截得兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.已知,兩個平行平面間有三個幾何體,分別是三棱錐、四棱錐、圓錐(高度都為),其中:三棱錐的底面是正三角形(邊長為),四棱錐的底面是有一個角為的菱形(邊長為),圓錐的體積為,現(xiàn)用平行于這兩個平行平面的平面去截三個幾何體,如果截得的三個截面的面積相等,那么,下列關(guān)系式正確的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點,平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx++2ax.
(1)當a<0時,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的a∈(-3,-2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln 3)a-2ln 3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對于不相等的實數(shù)x1,x2,設m=,n=,現(xiàn)有如下命題:
①對于任意不相等的實數(shù)x1,x2,都有m>0;
②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1,x2,都有n>0;
③對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1,x2,使得m=n;
④對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1,x2,使得m=-n.
其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號).
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【題目】如下圖,已知點是離心率為的橢圓: 上的一點,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點互不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線, 的斜率之和為定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1-)是R上的偶函數(shù).
(1)對任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)令g(x)=1-,設函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點,求實數(shù)n的取值范圍.
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