【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(Ⅱ)求證:lnx≥-

(Ⅲ)判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說明理由.

【答案】(-1)x-y-+1=0;(見解析;(見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)函數(shù)求導得切線斜率為f’(1)= -1,再利用直線的點斜式求解即可;

(Ⅱ)要證明lnx≥-,(x>0)”等價于“xlnx≥-,設函數(shù)g(x)=xlnx,求導結(jié)合單調(diào)性得g()即可證得;

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤- (),求導結(jié)合單調(diào)性得k(x)≤k(1)=0恒成立即可證得.

試題解析:

函數(shù)的定義域為(0,+∞),

f’(x)=- -+

f’(1)= -1,又f(1)=-

曲線y=f(x)x=1處的切線方程為

y+=(-1)x-+1.

(-1)x-y-+1=0.

(Ⅱ)“要證明lnx≥-,(x>0)”等價于“xlnx≥

設函數(shù)g(x)=xlnx.

g’(x)=1+lnx=0,解得.

x

0,

gx

-

0

+

gx

遞減

遞增

因此,函數(shù)g(x)的最小值為g()=-,故xlnx≥.

lnx≥.

(Ⅲ)曲線y=f(x)位于x軸下方.理由如下:

由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤-= ().

k(x)= ,則k’(x)=

k’(x)>00<x<1;令k’(x)<0x>1.

所以k(x)(0,1)上為增函數(shù),(1,+∞)上為減函數(shù).

所以當x>0時,k(x)≤k(1)=0恒成立,當且僅當x=1時,k(1)=0.

又因為f(1)=- <0,所以f(x)<0恒成立.

故曲線y=f(x)位于x軸下方.

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