Question

8．記號(hào)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$（n∈N^*），S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，則[S₂₅₀₀]=98．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n＞1），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得S₂₅₀₀＜99；由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得S₂₅₀₀＞98，即可得到所求值．

解答 解：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$，
由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n＞1）可得，
S₂₅₀₀=$\frac{1}{\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2500}}$＜1+2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2500}$-$\sqrt{2499}$）
=1+2×（50-1）=99；
由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），可得，
S₂₅₀₀=$\frac{1}{\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2500}}$＞2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2501}$-$\sqrt{2500}$）
=2×（$\sqrt{2501}$-1）∈（98，99）．
則[S₂₅₀₀]=98．
故答案為：98．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，注意運(yùn)用不等式的放縮法和裂項(xiàng)相消求和，求得范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．