Question

11．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞增的是（　�。�

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=a^x+a^-x（a＞0，a≠1）
• C． f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$
• D． f（x）=a^x-a-^x，（a＞0，a≠1）

Answer 1

分析 分別判斷四個答案中是否滿足既是奇函數(shù)又在[-2，2]上單調(diào)遞增，易得到答案

解答 解：A．sinx在[$\frac{π}{2}，2$]上單調(diào)遞減；
B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函數(shù)；
C．f（-x）=ln$\frac{3-x}{3+x}$=-ln$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈[-2，2]，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=ln$\frac{3+{x}_{1}}{3-{x}_{1}}$-ln$\frac{3+{x}_{2}}{3-{x}_{2}}$=ln$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴3+x₁＜3+x₂，3-x₂＜3-x₁，
∴$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$＜1，
∴l(xiāng)n$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞增，
D．f′（x）=（a^x+a^-x）lna；
∴0＜a＜1時，lna＜0，f′（x）＜0；
∴f（x）單調(diào)遞減．
故選：C．

點評 （1）若奇函數(shù)經(jīng)過原點，則必有f（0）=0，這個關(guān)系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．（2）對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義  （ 基本步驟為取 點、作差或作商、變形、判斷）求解．可導函數(shù)則可以利用導數(shù)解之．（3）運用函數(shù)的單調(diào)性是求最值（或值域）的常用方法之一，特別對于抽象函數(shù)，更值得關(guān)注．