Question

12．已知a_n=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_{n+1}}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$；
（Ⅱ）若不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀時恒成立，求最小正整數(shù)n₀，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用通項公式化簡不等式，利用分析法的證明方法，通過平方轉(zhuǎn)化求解使不等式成立的充分條件-5＜3即可證明不等式．
（Ⅱ）通過n的取值，推出前幾項，找出最小正整數(shù)n₀，然后證法一利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．證法二：利用二項式定理轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 滿分（12分）．
證明：（Ⅰ）要證：$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_n}_{+1}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$
即證：$\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+5}＜\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}$…（1分）
只需證：${（{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+5}}）^2}＜{（{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}）^2}$…（2分）
即證：$4n+4+2\sqrt{（{2n-1}）（{2n+5}）}＜4n+4+2\sqrt{（{2n+1}）（{2n+3}）}$
只需證：4n²+8n-5＜4n²+8n+3…（3分）
只需證：-5＜3
上式顯然成立∴不等式$\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+3}}}＜\sqrt{{a_n}_{+1}}+\sqrt{{a_{n+2}}}$成立．…（4分）
（Ⅱ）2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2即  2ⁿ＞n²+1
當(dāng)n=1時，左邊=2¹=2，右邊=1+1=2，不等式不成立；
當(dāng)n=2時，左邊=2²=4，右邊=2²+1=5，不等式不成立；
當(dāng)n=3時，左邊=2³=8，右邊=3²+1=10，不等式不成立；
當(dāng)n=4時，左邊=2⁴=16，右邊=4²+1=17，不等式不成立；
當(dāng)n=5時，左邊=2⁵=32，右邊=5²+1=2，不等式成立；
當(dāng)n=6時，左邊=2⁵=32，右邊=5²+1=2，不等式成立；
故猜想最小正整數(shù)n₀=5．…（6分）
下面證明n≥5時2ⁿ＞n²+1成立：
證法一：（數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)n=5時，左邊=2⁵=32，右邊=5²+1=26，不等式成立…（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5，且k∈N^*）時，不等式成立，即2^k＞k²+1，…（8分）
則當(dāng)n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞2×（k²+1）=（k+1）²+1+k（k-2）…（10分）
當(dāng)k≥5時，顯然k（k-2）＞0
故2^k+1＞（k+1）²+1
即n=k+1時不等式成立…（11分）
綜上，不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀時恒成立，且最小正整數(shù)n₀等于5．…（12分）
證法二：當(dāng)n≥5時，
由${2^n}=（1+1{）^n}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n$…（8分）
得${2^n}≥C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n$=$2（{C_n^0+C_n^1+C_n^2}）$…（10分）
即2ⁿ≥n²+n+2＞n²+1…（11分）
所以，不等式2ⁿ⁺¹＞na_n+n+2在n≥n₀時恒成立，且最小正整數(shù)n₀等于5．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查了分析法與綜合法的推理能力，考查了觀察分析猜想歸納能力與計算能力，屬于中檔題．