Question

1．為了解葫蘆島市高三學(xué)生某次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的某項(xiàng)指標(biāo)，從所有成績(jī)?cè)诩案窬�以上（90及90分以上）的考生中抽取一部分考生對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)按如下方式分成六組，第一組[90，100），第二組[100，110），…，第六組[140，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組人數(shù)為4．
（1）請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（2）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第四組和第六組中任意選2人，求兩個(gè)人來自于同一組的概率P₁；
（3）用這部分考生的成績(jī)分布的頻率估計(jì)全市考生的成績(jī)分布，并從全市考生中隨機(jī)抽取3名考生，求成績(jī)不低于130分的人數(shù)ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）令第四，第五組的頻率分別為x，y，由等差中項(xiàng)得概念及頻率和為1列關(guān)于x，y的方程組，求得x，y的值，可得頻率分布直方圖，進(jìn)一步求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M的估計(jì)值；
（2）求出第四組和第六組人數(shù)，再由古典概型概率計(jì)算公式求得兩個(gè)人來自于同一組的概率P₁；
（3）求出在樣本中選一人成績(jī)不低于130分的概率為$\frac{3}{20}$，寫出ξ的可能取值并求其概率，列出頻率分布表，再由二項(xiàng)分布的期望公式求期望．

解答 解：（1）令第四，第五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10且x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，
∴x=0.15，y=0.10，補(bǔ)充如圖：
則M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；
（2）第四組人數(shù)12，第六組人數(shù)4．
∴P₁=$\frac{{C}_{12}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；
（3）在樣本中選一人成績(jī)不低于13（0分）的概率$\frac{3}{20}$．
ξ的可能取值0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{20}$）³=$\frac{4913}{8000}$，P（ξ=1）=C₃¹（1-$\frac{3}{20}$）²$\frac{3}{20}$=$\frac{2601}{8000}$，
P（ξ=2）=C₃²（1-$\frac{3}{20}$）$\frac{3}{20}$²=$\frac{459}{8000}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{20}$³=$\frac{27}{8000}$．
分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4913}{8000}$	$\frac{2601}{8000}$	$\frac{459}{8000}$	$\frac{27}{8000}$

由ξ～B（3，$\frac{3}{20}$），故Eξ=3×$\frac{3}{20}$=$\frac{9}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，考查學(xué)生讀取圖表的能力，是中檔題．