Question

16．是否存在一個(gè)等差數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任何自然數(shù)n，等式：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1）（n+2）都成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 設(shè)出公差d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和化簡表達(dá)式，通過方程組求出數(shù)列的公差以及首項(xiàng)，即可證明結(jié)果．

解答 解：存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足條件，
證明：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=a₁+2（a₁+d）+3（a₁+2d）+…+n[a₁+（n-1）d]
=a₁（1+2+3+…+n）+d[2×1+3×2+4×3+…+n×（n-1）]
=$\frac{n（n+1）}{2}{a}_{1}$+d[2²-2+3²-3+4²-4+…+n²-n]
=$\frac{n（n+1）}{2}{a}_{1}$+d[（1²+2²+3²+4²+…+n²）-（1+2+3+4+…+n）]
=$\frac{n（n+1）}{2}{a}_{1}$+d[$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{n（n+1）}{6}$]
=$\frac{n（n+1）}{2}$[a₁+$\frac{d（2n-2）}{3}$]
=n（n+1）（n+2）
a₁+$\frac{d（2n-2）}{3}$=2（n+2）
（2d-6）n+3a₁-2d-12=0
因?yàn)榇耸綄?duì)任意自然數(shù)n均成立
所以2d-6=0
且3a₁-2d-12=0
解得d=3，a₁=6
所以a_n=a₁+（n-1）d=6+3（n-1）=3n+3
即所求數(shù)列為a_n=3n+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．