Question

10．已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的$\sqrt{3}$倍．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知m≠0，設(shè)直線l：x-my-1=0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l₂：mx+y-m=0交曲線E于B，D兩點(diǎn)，若CD的斜率為-1時(shí)，求直線CD的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由題意，$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{3}\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，由此能求出曲線E的方程．
（2）由題知l₁⊥l₂，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N（1，0），設(shè)曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：y=x-2，設(shè)直線CD：y=-x+t，由此利用圓的幾何性質(zhì)，能求出線CD的方程．

解答 （1）解：設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由題意，$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=\sqrt{3}\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，…（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3，
∴曲線E的方程為（x-2）²+y²=3．…（4分）
（2）解：由題知l₁⊥l₂，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N（1，0），…（6分）
設(shè)曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點(diǎn)為P，
則直線EP：y=x-2，設(shè)直線CD：y=-x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-x+t\end{array}\right.$，解得點(diǎn)$P（\frac{t+2}{2}，\frac{t-2}{2}）$，…（8分）
由圓的幾何性質(zhì)，$|NP|=\frac{1}{2}|CD|=\sqrt{|ED{|^2}-|EP{|^2}}$，…（9分）
而$|NP{|^2}={（\frac{t+2}{2}-1）^2}+{（\frac{t-2}{2}）^2}$，|ED|²=3，$|EP{|^2}={（\frac{|2-t|}{{\sqrt{2}}}）^2}$，
解之得t=0，或t=3，…（10分）
∴直線CD的方程為y=-x，或y=-x+3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式、圓的幾何性質(zhì)的合理運(yùn)用．