Question

1．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n項(xiàng)和，若T_n＜λ²-$\frac{λ}{2}$對任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并項(xiàng)相加可知T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式λ²-$\frac{λ}{2}$≥$\frac{1}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₄=14、a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得：d=1或d=0（舍），
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）∵a_n=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
∵T_n＜λ²-$\frac{λ}{2}$對任意n∈N^*恒成立，
∴λ²-$\frac{λ}{2}$大于等于T_n的最大值，即λ²-$\frac{λ}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
∴（λ-1）（λ+$\frac{1}{2}$）≥0，
∴λ≥1或λ≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，掌握一元二次不等式的解法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．