Question

10．已知⊙O₁的半徑為R，周長(zhǎng)為C．
（1）在⊙O₁內(nèi)任意作三條弦，其長(zhǎng)分別是l₁、l₂、l₃．求證：l₁+l₂+l₃＜C；
（2）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)⊙O₁的圓心為O₁（R，R）．
①當(dāng)直線l：y=x+b（b＞0）與⊙O₁相切時(shí)，求b的值；
②當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與⊙O₁有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的任意一條弦都小于或等于圓的直徑解答；
（2）①設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)M，連接O₁M，則O₁M⊥l，過點(diǎn)O₁作直線NH⊥x軸，與l交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)H，因?yàn)橹本�的k=1，所以直線與x軸的夾角等于45°，△OMN是等腰直角三角形，點(diǎn)N的坐標(biāo)即可表示出來，再把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求出b值；
②利用反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，作直線y=x的圖象與圓有兩交點(diǎn)，根據(jù)直線與x軸的夾角是45°，用圓的半徑表示出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k的值，k的取值就在這兩個(gè)數(shù)值之間．

解答 （1）證明：∵l₁≤2R，l₂≤2R，l₃≤2R．
∴l(xiāng)₁+l₂+l₃≤3×2R＜π×2R=C，
因此，l₁+l₂+l₃＜C．
（2）解：①如圖，根據(jù)題意可知⊙O₁與x軸、y軸分別相切，
設(shè)直線l與⊙O₁相切于點(diǎn)M，則O₁M⊥l，
過點(diǎn)O₁作直線NH⊥x軸，與l交于點(diǎn)N，
與x軸交于點(diǎn)H，
又∵直線l與x軸、y軸分別交于
點(diǎn)E（-b，0）、F（0，b），
∴OE=OF=b，∴∠NEO=45°，
∴∠ENO₁=45°，
在Rt△O₁MN中，O₁N=O₁M÷sin45°=$\sqrt{2}R$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（R，$\sqrt{2}R+R$），
把點(diǎn)N坐標(biāo)代入y=x+b得：$\sqrt{2}R+R=R+b$，
解得：$b=\sqrt{2}R$；
②如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O、O₁的直線交⊙O₁于點(diǎn)A、D，
由已知，直線OO₁：y=x是圓與反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
當(dāng)反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象與⊙O₁直徑AD相交時(shí)（點(diǎn)A、D除外），
則反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象與⊙O₁有兩個(gè)交點(diǎn)．
過點(diǎn)A作AB⊥x軸交x軸于點(diǎn)B，
過O₁作O₁C⊥x軸于點(diǎn)C，OO₁=O₁C÷sin45°=$\sqrt{2}R$，OA=$\sqrt{2}R+R$，
所以O(shè)B=AB=OA•sin45°=$（\sqrt{2}R+R）•\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$R+\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$，
因此點(diǎn)A的坐標(biāo)是A$（R+\frac{{\sqrt{2}}}{2}R，R+\frac{{\sqrt{2}}}{2}R）$，將點(diǎn)A的坐標(biāo) 代入$y=\frac{k}{x}$，
解得：$k=（\frac{3}{2}+\sqrt{2}）{R^2}$．
同理可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D$（R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R，R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R）$，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入$y=\frac{k}{x}$，解得：$k=（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）{R^2}$
所以當(dāng)反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象與⊙O₁有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
k的取值范圍是：$（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）{R^2}＜k＜（\frac{3}{2}+\sqrt{2}）{R^2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查：（1）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，其它任意弦都小于或等于圓的直徑；
（2）一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圓的特點(diǎn)直線的k等于1時(shí)與x軸的夾角等于45°是解本題的關(guān)鍵，也是解決本題的突破口．