Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）對(duì)任意x∈R，f（x）≥a²-2a都成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義，求得不等式f（x）≥5的解集．
（2）利用絕對(duì)值的意義求得f（x）的最小值為3，再根據(jù)3≥a²-2a，求得實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-3和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，故不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤-3或x≥2}．
（2）由（1）可得f（x）的最小值為3，再結(jié)合對(duì)任意x∈R，f（x）≥a²-2a都成立，
可得3≥a²-2a，求得-1≤a≤3，即a的范圍是[-1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．