Question

8．如圖所示，設(shè)拋物線y²=2px與圓（x-5）²+y²=16在x軸上方的交點(diǎn)為A和B，線段AB的中點(diǎn)C（4，y_C）
（1）求拋物線方程；
（2）直線AB與x軸相交于D，求D到圓的最短距離．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系及C的坐標(biāo)求得p值，則拋物線方程可求；
（2）由（1）求出A，B的坐標(biāo)，得到C的坐標(biāo)，求出過(guò)圓心與C的直線的斜率，得到AB所在直線的斜率，由點(diǎn)斜式得到AB的方程，求出D的坐標(biāo)，再由圓心與D的距離減去圓的半徑得答案．

解答 解：（1）如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{（x-5）^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x²+（2p-10）x+9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=10-2p，
∵線段AB的中點(diǎn)C（4，y_C），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
x₁+x₂=10-2p=8，得p=1．
∴拋物線方程為y²=2x；
（2）把p=1代入方程x²+（2p-10）x+9=0，得x²-8x+9=0．
解得：${x}_{1}=4-\sqrt{7}，{x}_{2}=4+\sqrt{7}$，
則${y}_{1}=\sqrt{2{x}_{1}}=\sqrt{8-2\sqrt{7}}$=$\sqrt{7}-1$，${y}_{2}=\sqrt{2{x}_{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{7}}=\sqrt{7}+1$，
∴${y}_{C}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\sqrt{7}$，
則圓心M與C的連線的斜率為$\frac{\sqrt{7}}{4-5}=-\sqrt{7}$，
∴直線AB的方程為：$y-\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}}{7}（x-4）$，取y=0，得x=-3，
∴D（-3，0），
則求D到圓的最短距離為8-4=4．

點(diǎn)評(píng) 該題考查拋物線的方程與性質(zhì)性質(zhì)，考查直線與拋物線、圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力，是中檔題．