Question

19．若△ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=0，則$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 1

Answer 1

分析 首先運(yùn)用向量的三角形法則，再取取BC的中點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，再由向量共線的性質(zhì)和勾股定理，即可求得向量的投影．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+2（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+2（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
取BC的中點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OD}$，
則OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$．
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OE}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OD}$，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{3}{4}$|$\overrightarrow{AO}$|=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為$\sqrt{7}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、三角形外心的性質(zhì)、向量的投影、勾股定理、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．