Question

1．設函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）已知關于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用兩邊平方法，去絕對值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（Ⅱ）運用參數(shù)分離和不等式恒成立思想方法，由絕對值不等式的性質，求得右邊的最大值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等價于|2x+1|＞|x-3|，
兩邊平方得：4x²+4x+1＞x²-6x+9，
即3x²-10x-8＞0，
解得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞4，
所以原不等式的解集是：（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（4，+∞）；
（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等價于a＜|2x+1|+2|x-3|，
因為|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，
即有a＜7．
所以a的取值范圍是（-∞，7）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，主要考查絕對值不等式的性質和平方法解絕對值的方法，考查運算能力，屬于中檔題．