Question

1．已知函數f（x）=2^|x-m|，若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 由f（x）=2^|m|得|x-m|=|m|，于是x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．對方程的個數進行討論得出m的范圍．

解答 解：∵f（x）=2^|m|，∴2^|x-m|=2^|m|，即|x-m|=|m|，∴x²-2mx=0．
∵方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．
（1）若△=4m²=0，即m=0，則x²-2mx=0的解為x=0∈[-4，+∞），符合題意．
（2）若△=4m²＞0，即m≠0時，x²-2mx=0的解為x=0或x=2m，
∵x²-2mx=0在[-4，+∞）上只有一解．∴2m＜-4，解得m＜-2．
綜上，實數m的取值范圍是（-∞，-2）∪{0}．

點評 本題考查了指數方程，一元二次方程解的個數與系數的關系，屬于中檔題．