Question

16．求函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-3×（$\frac{1}{2}$）^x+2，x∈[-2，2]的值域．

Answer 1

分析 令（$\frac{1}{2}$）^x=t，則t∈[$\frac{1}{4}$，4]，f（x）=t²-3t+2．則f（x）的值域為二次函數(shù)g（t）=t²-3t+2在[$\frac{1}{4}$，4]上的值域．

解答 解：令（$\frac{1}{2}$）^x=t，則t∈[$\frac{1}{4}$，4]，∴f（x）=t²-3t+2．
令g（t）=t²-3t+2．則g（t）的對稱軸為t=$\frac{3}{2}$，∴g（t）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{3}{2}$，4]上單調(diào)遞增．
∴當t=$\frac{3}{2}$時，g（t）取得最小值g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，當t=4時，g（t）取得最大值g（4）=6．
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{4}$，6]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與最值．換元法的解題思想，屬于中檔題．