Question

3．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為棱A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)面DCC₁D₁內(nèi)運(yùn)動(dòng)，給出下列結(jié)論：
①若BQ⊥A₁C，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是線段；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓的一部分；
③若∠QBD₁=∠PBD₁，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是橢圓的一部分；
④若點(diǎn)Q到AB與DD₁的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線的一部分．
其中結(jié)論正確的是①②（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，分別求出相應(yīng)的軌跡方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A₁（1，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），Q（0，y，z），0≤y≤1，0≤z≤1，$\overrightarrow{BQ}$=（-1，y-1，z）
①若BQ⊥A₁C，（-1，y-1，z）•（-1，1，-1）=0，∴1+y-1-z=0，∴y-z=0（0≤y≤1，0≤z≤1），
則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是線段，正確；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，則1+（y-1）²+z²=2，∴（y-1）²+z²=1（0≤y≤1，0≤z≤1），
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓的一部分，正確；
③Q在以B為頂點(diǎn)，BD₁為對(duì)稱軸，PQ為直徑的圓為底面的圓錐與平面CC₁D₁D的交面上，一條母線為BP，而B(niǎo)P∥平面CC₁D₁D，知與圓錐母線平行的平面截圓錐得到的是拋物線的一部分，不正確；
④若點(diǎn)Q到AB與DD₁的距離相等，則y=$\sqrt{1+{z}^{2}}$，∴y²-z²=1，
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線的一部分，不正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確建立坐標(biāo)系求方程是關(guān)鍵．