Question

18．從所有棱長均為2的正四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示這三個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，則其數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．

Answer 1

分析 所有棱長均為2的正四棱錐S-ABCD中，ABCD是邊長為2的正方形，推導(dǎo)出ξ的可能取值為$\sqrt{3}，2$，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出其數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：如圖所有棱長均為2的正四棱錐S-ABCD中，ABCD是邊長為2的正方形，
SO⊥底面ABCD，SO=AO=$\sqrt{2}$，
S_△SAB=S_△SBC=S_△SCD=S_△SAD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
S_△ABD=S_△BCD=S_△ADC=S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
S_△SBD=S_△SAC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴ξ的可能取值為$\sqrt{3}，2$，
P（ξ=$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{6}{10}$，
Eξ=$\frac{4}{10}×\sqrt{3}+\frac{6}{10}×2$=$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，巧妙地把立體幾何和概率有機(jī)地結(jié)合在一起，是一道難得的好題．