Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足：S_n=2a_n-2n（n∈N^*）
（1）求證：{a_n+2}是等比數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（3）若數(shù)列{b_n}的滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和，求證

1

2

≤T_n≤

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n=2a_n-2a_n-1-2，所以a_n+2=2（a_n-1+2），由此能證明{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（3）由

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用錯位相減法能求出Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．由此能證明

1

2

≤T_n＜

3

2

．

解答： （1）證明：當(dāng)n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，
則當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，
當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：∵{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an+2=4×2n-1，
∴an=2n+1-2．
（3）證明：bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
當(dāng)n≥2時，T_n-T_n-1=-

n+1

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}為遞增數(shù)列，∴T_n≥T₁=

1

2

，
又∵

n+2

2n+1

＞0，∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．
∴

1

2

≤T_n＜

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．