Question

已知函數(shù)f（t）對任意實(shí)數(shù)x、y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3，且f（1）=1．
（1）求f（0）、f（-1）、f（2）的值；
（2）若t為正整數(shù)，求f（t）的表達(dá)式．
（3）滿足條件f（t）=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列？若能構(gòu)成等差數(shù)列，求出此數(shù)列；若不能構(gòu)成等差數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過賦值法，令x=y=0，x=1，y=-1，x=y=1，求得f（0）、f（-1）、f（2）的值；
（2）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，令x=t，y=1，代入化簡即可．
（3）由f（t）=t，得t（t-1）（t+4）+4t-3=t，求出t的值，判斷即可．

解答： 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+3，∴f（0）=-3，
令x=1，y=-1，得f（0）=f（1）+f（-1）-6+3，∵f（1）=1，∴f（-1）=-1，
令x=y=1，得f（2）=2f（1）+3×4+3=17，
（2）令x=t，y=1，
∴f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3
∴f（t+1）-f（t）=3t²+9t+4，

∴f(t)=f(t)-f(t-1)+f(t-1)-f(t-2)+…+f(2)-f(1)+f(1) =3•[12+22+32+…+(t-1)2]+9•(1+2+3+4+…+(t-1))+4(t-1)+1 =3 (t-1)t(2t-1) 6 +9 t(t-1) 2 +4t-3 =t(t-1)(t+4)+4t-3

=t³+3t²-3，
∴f（t）=t³+3t²-3，t∈Z⁺，
（3）f（0）=-3，經(jīng)驗(yàn)證符合f（t）=t³+3t²-3，
設(shè)t∈Z^-，則-t∈Z⁺，
∴f（-t）=（-t）³+3（-t）²-3=-t³+3t²-3，
又∵f（t-t）=f（t）+f（-t）+3t（-t）（t-t+2）+3f（t）
=f（0）-f（-t）+6t²-3
=-3+t³-3t²+3+6t²-3
=t³+3t²-3
∴f（t）=t³+3t²-3，t∈Z，
由f（t）=t，得t（t-1）（t+4）+4t-3=t，
∴t（t-1）（t+4）+3（t-1）=0，
∴（t-1）（t+1）（t+3）=0，
∴t=1，-1，-3，
可知這三個數(shù)可以組成等差數(shù)列：-3，-1，1 或1，-1，-3．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的求值、計(jì)算與證明問題，抽象函數(shù)是相對于函數(shù)有具體解析式而言的，賦值法是解決抽象函數(shù)的一把“利劍”，本題屬于中檔題．