Question

7．函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在實數(shù)x∈（1，+∞），滿足f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時，f′（x）=e^x（2x+1）-1，f′（0）=0，且函數(shù)f′（x）在R上單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）由f（x）＜0，則e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），由x＞1，化為a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出g（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x+1）-a，
a=1時，f′（x）=e^x（2x+1）-1，
f′（0）=0，且函數(shù)f′（x）在R上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＜0，則e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），
∵x＞1，∴a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{2x}^{2}-3x）}{{（x-1）}^{2}}$，
∴函數(shù)g（x）在（1，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞減；在（$\frac{3}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（$\frac{3}{2}$）=4${e}^{\frac{3}{2}}$，
∴x＞1時，a＞4${e}^{\frac{3}{2}}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（4${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．