Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊），a₁=2．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求通項公式a_n；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊）兩邊同時取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，進而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知b_n=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N₊），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}通項公式a_n=$\frac{2}{n}$；
（2）解：由（1）可知b_n=a_na_n+1=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=4（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．