Question

14．已知偶函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{λ\sqrt{1-{x}^{2}}（0≤x≤1）}\\{x-1（1＜x≤2）}\end{array}\right.$，若方程2f（x）-x=0恰好有5個(gè)實(shí)根，則正實(shí)數(shù)λ等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$
• B． 4
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 偶函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x），函數(shù)f（x）關(guān)于y軸及其直線x=2對稱，因此是周期為4的函數(shù)．由選擇支值考慮λ＞1時(shí)，令y=λ$\sqrt{1-{x}^{2}}$，化為$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}+{x}^{2}$=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．畫出圖象，利用f（x）=$\frac{x}{2}$恰好有5個(gè)實(shí)根，直線與橢圓相切與判別式的關(guān)系即可得出．

解答 解：偶函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，恒有f（2-x）=f（2+x）
∴函數(shù)f（x）關(guān)于y軸及其直線x=2對稱，因此是周期為4的函數(shù)．
由選擇支值考慮λ＞1時(shí)，令y=λ$\sqrt{1-{x}^{2}}$，化為$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}+{x}^{2}$=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
畫出圖象：
∵方程2f（x）-x=0即f（x）=$\frac{x}{2}$恰好有5個(gè)實(shí)根，
由圖象可知，f（x）與y=$\frac{1}{2}$x在點(diǎn)P處相切；
7≤x≤9時(shí)，y=λ$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，代入y=$\frac{1}{2}$x，
得到（$\frac{1}{4}$+λ²）x²-16λ²x+63λ²=0，△=（16λ²）²-4（$\frac{1}{4}$+λ²）×63λ²=0，
又λ＞0，解得λ=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、函數(shù)的奇偶性與周期性、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．