Question

6．已知在△ABC中，AB=2，AC=1，∠A=60°，M在邊AB上，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 由已知求得BC長，可得△ABC是以∠C為直角的直角三角形，以CB邊所在直線為x軸，以CA邊所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．

解答 解：在△ABC中，∵AB=2，AC=1，∠A=60°，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=4+1-2×2×1×cos60°=3，
則BC=$\sqrt{3}$，
∵AC²+BC²=AB²，∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形，
如圖：以CB邊所在直線為x軸，以CA邊所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），B（$\sqrt{3}$，0），A（0，1），
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{AM}=（x，y-1），\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，-1）$，
由$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，得$（x，y-1）=\frac{1}{3}（\sqrt{3}，-1）$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y=$\frac{2}{3}$，則M（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CB}=（\sqrt{3}，0）$，
則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}+\frac{2}{3}×0$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，是中檔題．