Question

8．記g（a，b）=a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b（　　）

• A． 存在正實數(shù)b，使g（a，b）≥0對任意的實數(shù)a恒成立
• B． 不存在正實數(shù)b，使g（a，4）•g（a，b）≥0對任意的實數(shù)a恒成立
• C． 存在無數(shù)個實數(shù)a，使g（a，4）≥g（a，b）對任意的正實數(shù)b恒成立
• D． 有且只有一個實數(shù)a，使g（a，4）≥g（a，b）對任意的正實數(shù)b恒成立

Answer 1

分析 根據(jù)g（a，b）=a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：A．存在正實數(shù)b，使g（a，b）≥0，
則a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b≥0，即$\frac{1}{4}$b-a$\sqrt$≤0，即b-4a$\sqrt$≤0，∵b是正實數(shù)，
∴不等式等價為$\sqrt$≤4a，則a≥$\frac{1}{4}$$\sqrt$，則并不是所有的實數(shù)a都成立，故A錯誤，
B．由g（a，4）•g（a，b）≥0得（2a-1）（a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b）≥0，
當(dāng)b=4時，（2a-1）（2a-1）=（2a-1）²≥0恒成立，此時滿足條件，故B錯誤，
C．由g（a，4）≥g（a，b）得2a-1≥a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b，即$\frac{1}{4}$b-a$\sqrt$+2a-1≥0恒成立，
則判別式△=a-4×$\frac{1}{4}$（2a-1）=a-2a+1=1-a，
當(dāng)判別式△=1-a≤0，即a≥1時，不等式g（a，4）≥g（a，b）對任意的正實數(shù)b恒成立，則C正確，D錯誤，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)g（a，b）的定義固定一個變量，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，不太容易理解．