Question

8．如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是平面A₁BC₁內(nèi)一動點，且滿足|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，則直線B₁P與直線AD₁所成角的余弦值的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 取BC₁的中點E，作點B₁在平面A₁BC₁內(nèi)的投影O，過O作OF∥BC₁交A₁B于點F，連結(jié)B₁D、A₁E，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)F、OE、OB₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$計算即可．

解答 解：取BC₁的中點E，作點B₁在平面A₁BC₁內(nèi)的投影O，
過O作OF∥BC₁交A₁B于點F，連結(jié)B₁D、A₁E，
以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)F、OE、OB₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，
根據(jù)題意，易得D（0，0，-2$\sqrt{3}$），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C₁（-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
設(shè)P（x，y，0），則$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-x，-y，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}$，0，0），
∵|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+12}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+3}$=2+$\sqrt{13}$，
∴|$\overrightarrow{P{B}_{1}}$|=2，即x²+y²=1，
記α為直線B₁P與直線BC₁所成的角，則α即為直線B₁P與直線AD₁所成的角，
∴cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3\sqrt{2}x}{2×3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{2}$，
∵點P的軌跡在平面A₁BC₁內(nèi)是以O(shè)為圓心，1為半徑的單位圓，
∴-1≤x≤1，∴-$\frac{1}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞≤$\frac{1}{2}$，
又∵α為銳角，∴0≤cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞≤$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查求空間中線線角的三角函數(shù)值，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．