Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)的對稱中心；
（2）求函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（3）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求出函數(shù)的圖象的對稱中心．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．
（3）由不等式可得cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）≥$\frac{1}{2}$，由此解三角不等式，求得x的范圍．

解答 解：（1）對函數(shù)f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0）．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）∈[-2，$\sqrt{3}$]．
（3）不等式f（x）≥1，即 cos（2x+$\frac{π}{6}$ ）≥$\frac{1}{2}$，2kπ-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{3}$，即kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得不等式的解集為{x|kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性、定義域和值域，解三角不等式，屬于中檔題．