Question

6．已知a是實(shí)數(shù)，方程4ax²-（4a+2）x+5a+1=0在區(qū)間[2，+∞）上至少有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{3}{13}$]．

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)類型和根的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式解出．

解答 解：令f（x）=4ax²-（4a+2）x+5a+1，
（1）若4a=0，即a=0，則f（x）=-2x+1，
∴f（x）的零點(diǎn)為x=$\frac{1}{2}$∉[2，+∞）．
（2）若4a≠0，即a≠0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，
①若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上只有一個(gè)實(shí)根，
若△=0，即（4a+2）²-16a（5a+1）=0，解得a=±$\frac{1}{4}$，
則$\frac{4a+2}{8a}≥2$，無(wú)解．
若△＞0，即（4a+2）²-16a（5a+1）＞0，解得-$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{4}$且a≠0．
則$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{16a-2（4a+2）+5a+1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{16a-2（4a+2）+5a+1≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a$≤\frac{3}{13}$
②若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{△＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{△＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{（4a+2）^{2}-16a（5a+1）＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{13a-3≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{（4a+2）^{2}-16a（5a+1）＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{13a-3≤0}\end{array}\right.$．
無(wú)解．
綜上所述：a的取值范圍是（0，$\frac{3}{13}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．